توقع الدوري المصري

لكل مباراة من دول 3 أحداث ممكن تحصل: فوز، تعادل، أو هزيمة. نتائج المباريات مستقلة عن بعضها. مثلًا، لو الأهلي فاز مش هيخلي الزمالك يخسر.

$3 \times 3 \times 3 = 27$

27 نهاية مختلفة محتملة.

طب عشان الأهلي يكسب الدوري؟ لازم الأهلي يكسب، لازم الزمالك يخسر، ولازم بيراميدز ميكسبش (تعادل أو هزيمة). كده بنتكلم في [فوز، هزيمة، تعادل] أو [فوز، هزيمة، هزيمة]. سيناريوهين بس من الـ27. يعني نقدر نقسم 2 على 27 مباشرة.

$2 / 27 \approx 7.4\%$

يبقى الحسابات دي أظهرت إن احتمال فوز الأهلي بالدوري حوالي 7%. اللي احنا عملناه ده كله ماهو إلا تطبيق بسيط للاحتمالات التوافقية (combinatorial probability).

احتمال حدث ما = عدد النواتج الممكنة اللي عايزينها ÷ إجمالي النواتج كلها.

بس مشكلة الأسلوب ده ايه؟ إننا افترضنا -- ضمنيًا -- تساوي احتمالات الأحداث عند الـ 3 فرق. هل احتمال فوز الأهلي وهزيمته وتعادله واحد وبيساوي 33%؟ الإجابة هي غالبًا لا.

هل احتمال فوز الأهلي قدام المصري نفس احتمال هزيمته؟ هل احتمال تعادل الزمالك قدام سيراميكا نفس احتمال فوزه؟ هل كل سيناريوهات الدوري متساوية؟

إذًا احتمالية الفوز لا تساوي احتمالية التعادل، ولا تساوي احتمالية الهزيمة. يبقى الاحتمالات مش كلها متساوية (33%)، وأكيد في حاجة أعلى من التانية.

هنا يأتي دور الحقائق والبيانات: فورمة الفريق (آخر 5 مباريات)، نسبة الفوز في المرحلة، متوسط الأهداف المسجلة والمستقبلة، المواجهات المباشرة بين الفريقين.

كل فريق بنحسبله رقمين من بيانات الموسم كله (25 مباراة) -> قوة الهجوم وقوة الدفاع. الأهلي مثلاً: هجوم 1.19 ودفاع 0.68. المصري: هجوم 0.99 ودفاع 0.76.

من الرقمين دول بنطلع الأهداف المتوقعة (Expected Goals أو xG) للمباراة. المصري متوقعله 0.95 هدف، الأهلي متوقعله 1.28 هدف.

نستخدم توزيع بواسون (توزيع إحصائي شهير جدًا في تحليل مباريات كرة القدم)، حيث نعتبر أن الـxG يمثل قيمة $\lambda$، وهو معدل الأهداف المتوقع لكل فريق خلال المباراة.

المصري vs الأهلي -> فوز الأهلي 44.1% الزمالك vs سيراميكا -> خسارة الزمالك 25.9% بيراميدز vs سموحة -> عدم فوز (تعادل أو خسارة) بيراميدز 53.8%

بافتراض استقلال النتائج: $0.441 \times 0.259 \times 0.538 \approx 6.1\%$

قريب من الـ7.4% اللي طلعنا بيها بالتوافيق، بس دلوقتي الرقم مبني على بيانات حقيقية.

النموذج ده بيجاوب على سؤال واحد: إيه المتوقع يحصل؟ بس في عالم النمذجة الإحصائية، ماذا لو جربنا كل التوليفات الممكنة الاف المرات ونشوف ايه اللي بيحصل؟

ماذا يحدث لو لعبنا المباراة الأخيرة آلاف المرات بدل مرة واحدة؟ هنا يدخل واحد من أشهر أساليب المحاكاة والإحصاء في العالم: Monte Carlo Simulation.

الفكرة ببساطة: بدل ما نحسب كل الاحتمالات يدويًا، نخلي الكمبيوتر "يلعب" الجولة الأخيرة آلاف المرات، وفي كل مرة يختار نتائج المباريات بناءً على الاحتمالات اللي طلعناها من نموذج بواسون.

بعد آلاف المحاكاة، كانت النتيجة المبدئية: الزمالك: 65.1% بيراميدز: 11.9% الأهلي: 0% تعادل في النقاط: 23%

الأهلي فاز في 44% من المحاكاة، والزمالك خسر في 26% منها، بس الموديل قال صفر! السبب إن الموديل المبدئي كان بيعامل أي تعادل في النقاط كـ"نتيجة مجهولة" من غير ما يحسم مين بيكسب في النهاية.

وبمجرد ما أضفنا قاعدة الفصل الأهم، المواجهات المباشرة، الصورة اتغيرت تماماً: الزمالك: 81.9% بيراميدز: 11.9% الأهلي: 6.2%

المدهش إن نسبة الأهلي النهائية طلعت شبه مطابقة تقريبًا للرقم اللي حسبناه يدويًا (6.1%). وده معناه إن النموذج كان متماسك جدًا حتى بعد آلاف التجارب العشوائية.

Monte Carlo لا يحاول "التنبؤ بالمستقبل" بشكل سحري. هو فقط يسأل: "إذا كانت هذه الاحتمالات صحيحة… فما الذي سيحدث لو أعدنا التجربة آلاف المرات؟"

حتى الآن، كل الاحتمالات اللي استخدمناها اعتبرناها ثابتة. كأن العالم لا يتغير. ماذا لو ظهرت معلومة جديدة قبل المباراة؟ إصابة مفاجئة؟ غياب لاعب؟ هل نتمسك بالأرقام القديمة أم نقوم بتحديث قناعتنا بالكامل؟

إحنا آخر حاجة وصلنا ليها احتمالات فوز كل فريق بالدوري كانت: الزمالك 81.9%، بيراميدز 11.9%، الأهلي 6.2%. طيب المفروض لو الأهلي فاز قدام المصري إيه اللي يغير في احتمالات فوزه؟

فرضنا اللي عايزين نقيسه هو فوز الأهلي بالدوري وليكن A باحتماله: 6.2%. واحتمال فوز الأهلي على المصري: 44.1%.

القانون البسيط لنظرية بايز: $P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$

إيه احتمالية فوز الأهلي بالمباراة بشرط إنهم خدوا الدوري؟ "لازم يكسب" يعني أكيد، والأكيد احتماله 1.

$P(Title|Win) = \frac{1 \times 0.062}{0.441} \approx 14.1\%$

اتضاعف الاحتمال تقريباً، وهنا يكمن سر جمال نظرية بايز (Bayes' Theorem)؛ إن بناءً على دليل وجدته، غيّرت مفهومك واعتقادك بشكل كبير.